مثال 9 - مجموعه (A - (B´- A^' برابر كدام مجموعه است ؟

الف) A   ب) A-B   ج)A ∩ B د) ∅

 

جواب – گزينه ي ج درست است

A-(B´-A´)=A-(B´∩A)=A∩(B U A´)=A∩B

 

مثال 8 – طول وتري كه در راس يك هذلولي بر محور قاطع هذلولي عمود شود و به دو مجانب آن محدود مي شود كدام است ؟

الف) b ب) 2b ج) c د) 2c

 

جواب – طول وتري كه در راس يك هذلولي بر محور قاطع هذلولي عمود است ، عرض مستطيلي است كه دو مجانب از رئوس آن مي گذرند . چون طول دو قطر هذلولي 2a و 2b هستند ، پس گزينه ي ب جواب صحيح است .

مثال 7 – اگر A-B=A آنگاه حاصل B-[A-(B-A)] كدام است ؟

الف) A           ب) B           ج) A∩ B          د)A∪B

 

جواب -  گزينه ي (ب) درست است . از A-B=A نتيجه مي شود B-A=B (چرا كه اشتراك آنها تهي است ) پس

                                   B-[A-(B-A)] = B-(A-B) = B-A = B

 

مثال 6 –  n سكه را با هم پرتاب كرده تعداد رو ها را مي شماريم فضاي نمونه اي اين آزمايش چند عضو دارد ؟

جواب– نتيجه ي آزمايش عبارت است از تعداد رو ها كه از صفر تا n تغيير مي كند پس فضاي نمونه اي عبارت است از S={0,1,2,3,…,n} كه n+1 عضو دارد .

 

مثال 5 – يك سكه را ده مرتبه پرتاب مي كنيم . احتمال وقوع كدام پيشامد با احتمال وقوع حداقل 8 رو برابر است ؟

1) حداقل 3 پشت        2)حداكثر 3 رو        3) 4 بار رو        4) حداكثر 2 رو

 

جواب – پيشامد حداقل 8 رو بيايد يعني حداكثر 2 پشت بيايد كه مي توان احتمال آن را با پيشامد حداكثر 2 رو برابر دانست . بنابر اين گزينه ي 4 جواب صحيح است .

 

مثال 4 – تابع f با ضابطه ی x²-2x+4| |f(x)= چند اكسترمم دارد ؟

1) 1            2) 2            3) 3            4) صفر

 

جواب – چون x²-2x+4=(x-1)² +3  پس

x²-2x+4|=(x-1)² +3                                           |f(x)=

چون =2(x-1) f ́(x) ، پس x=1 تنها ریشه ی مشتق است ، لذا تابع یك اكسترمم دارد.

بنابراین گزینه 1 ، جواب صحیح است .

مثال 3 - كدام يك از خطوط زير بر دايره  (x-1)² + y² = 1  عمود است ؟

 

1) x-1 = y       y = x+1 (2         x = y (3        x = y + 2 (4 

 

جواب - خط عمود بر دايره از مركز دايره عبور مي كند ٬ بنابر اين بايدC(1,0)

 در آن صدق کند که این نقطه فقط روی x-1 = y  واقع است . پس گزينه 1

جواب صحيح است .

 

مثال 2-  تابع f(x) = |x³-5x+1| در نقطه x ₀ = 1

1) فقط مشتق راست دارد            2) فقط مشتق چپ دارد

3) مشتق پذير است                   4) مشتق چپ و راست دارد ولي مساوي نيستند

 

جواب –  چون به ازاي x =1 ٬ حاصل x³-5x+1 مخالف صفر است ٬ پس |x³-5x+1| در x =1 مشتق پذير است . لذا گزينه 3 جواب صحيح است .

 

 مثال 1 : اگر f(3+x) = 9-x² ٬ آنگاه مشتق f(3-x) در x=a كدام است ؟

3(3-a) (1     2) 3(3+a)     3) 2a     4) -2a

 

جواب) ابتدا در  f(3+x) = 9-x² ٬ x را به –x تبديل ميكنيم ٬ داريم

                                                             f(3-x)= 9-x²

 و از آن مشتق مي گيريم

            )= 2a (3-a ́ f     →   f ́(3-x)= 2x    →  -f ́ (3-x)= -2x

    پس گزينه 3 درست است .

 يادآوري - در هنگام مشتق گيري از f(3-x) به اين نكته توجه كنيد كه مشتق f(u)

 برابر است با́f ́(u) u و نه f ́(u)