نکته 36

نكته - 36 اگر دو عدد وجود داشته باشند كه مجموعشان s و حاصل ضربشان p باشد آن دو عدد ريشه هاي معادله ي     x² - sx + p = 0مي باشند .

نكته 35 – فرض كنيد n عددي فرد و طبيعي باشد ، و a و b  اعدادي حقيقي باشند ، آنگاه معادله ي xⁿ+ax+b=0 نمي تواند بيش از سه ريشه ي حقيقي داشته باشد .

نكته 34 – فرض كنيد n عددي مثبت و زوج باشد ، و a و b اعدادي حقيقي باشند ، آنگاه معادله ي xⁿ+ax+b=0 نمي تواند بيش از دو ريشه ي حقيقي داشته باشد .

نكته 33 – هر تابع كه روي بازه ي بسته اي پيوسته باشد ، روي آن بازه اكسترمم مطلق خواهد داشت .

نكته 32 – اگر f(d)  مينيمم مطلق f روي بازه ي باز (a,b) باشد ، مينيمم نسبي آن نيز هست ، در حالي كه عكس اين موضوع هميشه درست نيست .

نكته 31 – اگر (f(c ماكزيمم مطلق f روي بازه ي باز (a,b) باشد ، ماكزيمم نسبي آن نيز هست ، در حالي كه عكس اين موضوع هميشه درست نيست .

نكته 30 – برای وجود حد f(x) وقتی x→a لازم نیست كه f در a تعریف شده باشد ، بلكه فقط لازم است كه f در یك همسایگی محذوف a تعریف شده باشد .

نكته ۲۸ – لزومي ندارد كه تابع f پيوسته باشد تا انتگرال پذير باشد . (به عبارت ديگر يك تابع انتگرال پذير مي تواند ناپيوسته باشد) .

نكته 27 – اگر تابع f در بازه ي بسته ي [a,b] پيوسته باشد ، آنگاه f در اين بازه انتگرال پذير است .

نكته 26 - هرگاه ب.م.م a و b برابر c و ك.م.م آنها برابر d باشد آنگاه ab = cd   

طريقه ي رسم نمودار وارون يك تابع

طريقه ي رسم نمودار وارون يك تابع: فرض كنيد تابع f وارون پذير باشد و نمودار تابع f روي صفحه ي xoy در دست باشد . اگر قرينه ي اين نمودار را نسبت به خط y=x به دست آوريم ، شكل حاصل نمودار تابع f ^-1  خواهد بود .

نكته 24 –

 - 1 cos 2α = 2 sin² α 

نكته 23 –

  1+cos 2α =2 cos²α      

 

 

 

نكته 22 - اگر a نسبت به b و c اول باشد ، آنگاه نسبت به bc نيز اول خواهد بود .

نكته 21 – هر دنباله ي همگرا ، كراندار است .

نكته 20 – هر دنباله ی یكنوا و كراندار همگرا می باشد .

نكته 19 – اگر f تابعي فرد و g تابعي زوج باشد آنگاه  fog تابعي زوج خواهد بود .

نكته 18 – اگر قرینه ی یك عدد عضو دامنه ی تابع نباشد آن تابع نه زوج است و نه فرد .

 

نكته 17 -  در سه جمله اي ax²+bx+c اگر Δ= b² - 4ac صفر باشد ، علامت سه جمله اي به ازاي جميع مقادير x (به جز در ريشه) همان علامت a خواهد بود .(مقدار سه جمله اي به ازاي ريشه صفر است )

 

 نكته 16 – اگر در سه جمله ای ax²+bx+c علامت Δ=b² - 4ac منفی باشد ، سه جمله ای هم علامت با a خواهد بود .

 یعنی اگر a مثبت باشد سه جمله ای همیشه مثبت و اگر a منفی باشد سه جمله ای همیشه منفی خواهد بود .

نكته 15 - aⁿ-bⁿ = (a-b)(a^n-1+a^n-2b+ ... +b^n-1)

نكته 14 – اگر معادله ي ax²+bx+c = 0  داراي دو ريشه ي متمايز x΄ و x˝ باشد ، سه جمله اي ax²+bx+c را مي توان به صورت حاصل ضرب a و دو عبارت درجه ي اول نوشت :

                               ax²+bx+c = a (x-x΄)(x-x˝)

 

و اگر معادله داراي ريشه ي مضاعف x΄ باشد آنگاه :

                                a (x-x΄)²    = ax²+bx+c

نكته 13 – اگرA  يك ماتريس n×n باشد آنگاه det(-A)=(-1)ⁿ det(A)

 

 

نكته 12 - اگر a و b نسبت به هم اول باشند و  b+c | a  ، آنگاه c نسبت به a و b اول خواهد بود .

 

 

نكته 11 – اگر مشتق تابع f  همواره مثبت باشد آنگاه تابع  f اكیدا‍ صعودی است .

و اگر مشتق تابع f  همواره منفی باشد آنگاه تابع  f اكیدا‍ نزولی است .

نكته 10 - a^u du = a^u/ln a + c   ∫

 

نكته 9 -     2/ π = Arc tan u + Arc cot u

نكته 8 – تعداد راسهاي فرد هر گراف٬ عددي زوج است .

نكته 7 – گراف r-منتظم با r فرد وجود ندارد .

 نكته 6- ماتريس A^T.A داراي ويژگيهاي زير است :

1)  0 ≤ | A^T .A|

2) درايه هاي روي قطر اصلي آن مثبتند .

3) A .A^T يك ماتريس متقارن است .

 

نكته 5 - ضرب داخلي سه بردار تعريف نشده است زيرا ضرب داخلي دو بردار  عدد ميشود و ضرب داخلي عدد در بردار تعريف نشده است.

 

 

نكته ۴- اگر α ٬ β  و γ زواياي يك بردار با محور هاي مختصات باشند آنگاه :

                                           cos²α + cos²β + cos² γ = 1

 

نكته 3 -معادله درجه دوم   ax²+bx+c = 0 را در نظر بگيريد

 اگر́ x وx˝  ريشه هاي اين معادله باشند آنگاه :

1.     اگر c/a <0 در اين صورت معادله داراي دو ريشه متمايز بوده  و  x ́<0

2.     اگر c=0 آنگاه :     x ́= 0  و  x˝= - b/a 

3.     اگر c/a >0  آنگاه :

3.1. اگر 0>Δ در اين صورت معادله ريشه حقيقي ندارد .

3.2. اگر Δ>0 معادله داراي دو ريشه متمايز بوده و داريم :

  3.2 الف) اگر - b/a >0   آنگاه     x ́>x˝> 0 

  3.2 ب )  اگر  b/a <0 -  آنگاه     x ́˝<0

 

 نكته ۲- اگر f و g  دو تابع  باشند به طوري كه مشتق آنها روي ((a,b برابر باشد

يعني                  (a,b) x є     ،       f  ́(x) = g ́(x)

آنگاه براي هر(a,b)xє 

  داریم :                       عدد ثابت =(x)-g(x) f

 

نكته۱:

  اگر معادله درجه دوم ax²+bx+c=0 داراي دو ريشه متمايز يا متساوي باشد

 آنگاه مجموع  آنها مساوي با   – b/a و حاصلضرب آنها مساوي با  c/a  خواهد بود .